题解：P12929 [POI 2022/2023 R2] 攀登 / Wspinaczka

题目描述

给定一个特殊的 DAG（有向无环图），求图中的最长路径长度。

该图的特殊性质是：每个节点的可达节点集合有一个特殊的约束——每个节点最多有 $k$ 个”关键依赖”，其中 $k \leq 8$。

问题分析

初步尝试

1. 常规 DP

对于一般的 DAG，最长路径可以通过拓扑排序 + DP 求解：

但在此题中，边数可能非常多，直接建图会导致状态爆炸。

2. 拓扑排序

由于节点之间的约束关系复杂，拓扑排序需要先构建完整的图，这在节点数较多时不可行。

关键观察

注意到 $k \leq 8$ 是一个非常小的数，可以使用状态压缩来优化：

  • 每个节点只有 $k$ 个关键前置节点
  • 我们可以将这 $k$ 个关键前置节点的状态压缩为一个二进制数
  • 通过状压 DP 来求解最长路径

状压 DP 解法

状态定义

设 $dp[u][mask]$ 表示到达节点 $u$，且 $u$ 的 $k$ 个关键前置节点的访问状态为 $mask$ 时的最长路径长度。

其中 $mask$ 的第 $i$ 位表示第 $i$ 个关键前置节点是否已经被访问过。

转移方程

对于节点 $u$，其关键前置节点集合为 $P\_u = {p\_1, p\_2, \dots, p\_k}$。

当所有关键前置节点都已被访问（$mask$ 全为 $1$）时，才能访问节点 $u$：

其中 $mask’$ 是访问 $v$ 时的状态。

复杂度分析

  • 状态数：$O(n \cdot 2^k)$
  • 转移：$O(k)$ 或 $O(1)$ 每个状态
  • 总复杂度：$O(n \cdot 2^k \cdot k)$

当 $k \leq 8$ 时，$2^k = 256$，复杂度可以接受。

优化技巧

  1. 拓扑序处理：按照拓扑序遍历节点，保证状态转移的正确性
  2. 位运算优化：使用位运算快速判断关键前置节点是否全部访问
  3. 滚动数组：可以使用滚动数组优化空间
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// 状态转移伪代码
for (int u = 1; u <= n; u++) {
  for (int mask = 0; mask < (1 << k); mask++) {
    if (关键前置全部访问(mask)) {
      for (int v : 后继(u)) {
        int newMask = 更新状态(mask, v);
        dp[v][newMask] = max(dp[v][newMask], dp[u][mask] + 1);
      }
    }
  }
}

总结

本题的关键在于利用 $k \leq 8$ 这一特殊约束，通过状态压缩将指数级的状态压缩到可接受的范围。这提醒我们在解决图论问题时，要善于发现数据的特殊性质。

方法 复杂度 适用性
常规 DP $O(n + m)$ 边数较少时
拓扑排序 $O(n + m)$ 需要完整建图
状压 DP $O(n \cdot 2^k \cdot k)$ $k \leq 8$

原文首发于 CSDN